Лекція 3: Матричні перетворення – Магія трансформації даних 🎨

У попередніх лекціях ми дізналися, що матриці можуть зберігати дані та виконувати над ними операції. Але справжня магія починається, коли ми використовуємо матриці для перетворення даних. Сьогодні ми намалюємо гриб числами і навчимося його трансформувати!

Малюємо гриб матрицею 🍄

Уявімо, що в нас є зображення гриба. Зображення це фактично матриця пікселів, де кожен з них має свої певні характеристики, в нашому випадку зупинимось на кольорі.

Отже, нехай ми маємо наступну палітру кольорів:

• 0 = чорний (⬛)
• 1 = темно-сірий (🔲)
• 2 = світло-сірий (🔳)
• 3 = білий (⬜)

А отже, наш гриб у вигляді матриці 10×10 і за нашою палітрою буде виглядати ось так:

Візуалізація:

Розпізнавання образів – як ШІ “бачить” гриб? 👁️

Перш ніж трансформувати зображення, давайте зрозуміємо, як комп’ютер взагалі розпізнає, що на картинці є гриб. Це основа комп’ютерного зору!

Еталонний гриб (те, що ми шукаємо):

Наше зображення (трохи інший гриб):

Візуалізації для порівняння:

Як порівняти? Обчислюємо різницю:

Де |…| означає абсолютне значення кожного елемента.

Результат:

Візуалізація різниці (чим світліше, тим більша різниця):

Оцінка схожості:

Крок 1: Рахуємо суму всіх різниць

Додаємо всі числа з матриці різниць:

• Рядок 1: 0+0+1+1+1+1+1+1+0+0 = 6
• Рядок 2: 0+1+1+0+1+1+0+1+1+0 = 6
• Рядок 3: 1+1+1+0+0+0+0+1+1+1 = 6
• Рядок 4: 1+1+0+0+0+0+1+0+1+1 = 5
• Рядок 5: 1+0+0+2+0+0+2+0+0+1 = 6
• Рядок 6: 0+0+0+1+1+1+1+0+0+0 = 4
• Рядки 7-8: всі нулі = 0
• Рядок 9: 0+0+0+0+1+1+0+0+0+0 = 2
• Рядок 10: всі нулі = 0

Сума всіх різниць: 6+6+6+5+6+4+0+0+2+0 = 28

Крок 2: Обчислюємо максимально можливу різницю

Якби наш гриб був повністю протилежним еталону:

• Кожен піксель міг би відрізнятися максимум на 3 (від 0 до 3)
• У нас 10×10 = 100 пікселів
• Максимальна різниця: 100 × 3 = 300

Крок 3: Переводимо в відсоток схожості

Де найбільші відмінності?

Дивлячись на матрицю різниць, бачимо:

• Капелюшок ширший в еталоні (верхній рядок)
• Плямки на капелюшку розташовані по-різному (значення 2 в рядку 5)
• Ніжка коротша в нашому грибі (різниця в останньому рядку)

Саме так працюють алгоритми розпізнавання образів – порівнюють матриці пікселів!

Інверсія кольорів – негатив зображення 🔄

Щоб створити негатив, віднімаємо кожне значення від максимального (3):

Операція поелементно:

• Чорний (0) → Білий (3)
• Темно-сірий (1) → Світло-сірий (2)
• Світло-сірий (2) → Темно-сірий (1)
• Білий (3) → Чорний (0)

Візуалізація негативу:

Тепер наш гриб світиться на темному фоні! ✨

Горизонтальне відзеркалення 🪞

Для відзеркалення по горизонталі просто переставляємо стовпці в зворотному порядку:

Де P – матриця перестановки для відзеркалення:

Візуалізація відзеркаленого гриба:

гриб дивиться в інший бік! (Хоча в цьому випадку він симетричний)

Виділення частин зображення – маска 🎭

Хочемо виділити тільки капелюшок гриба? Створюємо матрицю-маску:

Як будуємо маску:

1. Визначаємо область капелюшка: дивимось на оригінальний гриб і бачимо, що капелюшок займає рядки 1-6
2. Ставимо 1 там, де хочемо зберегти зображення: в області капелюшка
3. Ставимо 0 там, де хочемо видалити зображення: в області ніжки та навколо

Поелементне множення (операція Адамара):

Візуалізація виділеного капелюшка:

Результат – тільки капелюшок гриба, решта пікселів чорні!

Альтернативний підхід – через віднімання:

Якби у нас була окрема матриця ніжки гриба, ми могли б отримати той самий результат через віднімання:

Де матриця ніжки містить значення тільки в нижній частині (рядки 7-10). Це показує, що в обробці зображень часто існує кілька способів досягти одного результату!

Обертання на 90 градусів 🔄

Для обертання на 90° за годинниковою стрілкою:

1. Транспонуємо матрицю (міняємо рядки і стовпці)
2. Відзеркалюємо кожен рядок (реверсуємо порядок елементів у кожному рядку)

Крок 1 - Транспонування:

При транспонуванні рядки стають стовпцями:

Крок 2 - Реверс кожного рядка:

Тепер змінюємо порядок елементів у кожному рядку:

Візуалізація поверненого на 90° гриба:

Тепер наш гриб повернувся на 90° за годинниковою стрілкою – ніжка вказує вліво, а капелюшок вправо!

Зміна яскравості та контрасту 🔆

Збільшення яскравості:

Додаємо 1 до кожного пікселя (але не більше максимуму 3).

Візуалізація яскравішого гриба:

Збільшення контрасту:

Як це працює:

1. Чому 1.5? Це середина нашого діапазону кольорів (0-3). Середнє = (0+3)/2 = 1.5
2. $(\text{Гриб} - 1.5)$ – відхилення від середини:
   • Якщо піксель = 0 (чорний): $0 - 1.5 = -1.5$
   • Якщо піксель = 3 (білий): $3 - 1.5 = +1.5$
3. $\times 1.5$ – збільшуємо відхилення (коефіцієнт контрасту)
4. $+ 1.5$ – повертаємо до початкового діапазону
5. $\text{round}()$ – округлення до найближчого цілого числа ($0.5 \rightarrow 1$, $1.4 \rightarrow 1$, $1.6 \rightarrow 2$)

Приклади:

• Піксель = 0: $\text{round}(1.5 \times (0 - 1.5) + 1.5) = \text{round}(-2.25 + 1.5) = \text{round}(-0.75) = 0$
• Піксель = 1: $\text{round}(1.5 \times (1 - 1.5) + 1.5) = \text{round}(-0.75 + 1.5) = \text{round}(0.75) = 1$
• Піксель = 2: $\text{round}(1.5 \times (2 - 1.5) + 1.5) = \text{round}(0.75 + 1.5) = \text{round}(2.25) = 2$
• Піксель = 3: $\text{round}(1.5 \times (3 - 1.5) + 1.5) = \text{round}(2.25 + 1.5) = \text{round}(3.75) = 3$ (обмежуємо максимумом)

Це розтягує значення від середнього, роблячи темні пікселі темнішими, а світлі – світлішими.

Візуалізація контрастного гриба:

Композиція зображень – додавання елементів 🎨

Уявімо, що ми хочемо додати траву під грибом:

Як створюємо матрицю трави:

1. Верхні 7 рядків = 0: тут немає трави, це небо та простір для гриба
2. Рядок 8: рідкі травинки (1 0 1 0 0 0 0 1 0 1) - окремі стебла
3. Рядок 9: густіша трава (1 1 1 1 0 0 1 1 1 1) - більше покриття, але є проміжки
4. Рядок 10: земля (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) - суцільний шар світло-сірого кольору

Об’єднання:

Функція max бере більше значення для кожного пікселя, щоб трава не “затерла” гриб.

Візуалізація гриба з травою:

Фільтри розмиття – згладжування 🌫️

Фільтрація – це процес обробки зображення за допомогою невеликої матриці (ядра), яка “ковзає” по всьому зображенню.

Фільтр усереднення (Box blur):

Як працює фільтрація:

Приклад для пікселя в позиції (3,4) нашого гриба:

1. Вибираємо область 3×3 навколо пікселя:

   2 3 3    (значення з матриці гриба)
   3 1 1    центр = позиція (3,4), значення = 1
   3 3 3

2. Поелементно множимо на фільтр:

   2×(1/9) + 3×(1/9) + 3×(1/9) +
   3×(1/9) + 1×(1/9) + 1×(1/9) +
   3×(1/9) + 3×(1/9) + 3×(1/9)

3. Сумуємо результати:

   = (2+3+3+3+1+1+3+3+3) / 9
   = 22 / 9
   = 2.44 ≈ 2 (округлюємо)

4. Новий піксель = 2 (світло-сірий замість темно-сірого)

Було: 🔲 (темно-сірий, значення 1) Стало: 🔳 (світло-сірий, значення 2)

Піксель став світлішим, бо навколо нього більше світлих пікселів!

Чому це працює:

• Усереднення: кожен піксель стає середнім арифметичним своїх сусідів
• Згладжування: різкі переходи між кольорами стають плавнішими
• Видалення шуму: випадкові яскраві/темні пікселі зникають

Інші популярні фільтри:

• Гаусове розмиття: більша вага центральному пікселю
• Виявлення країв: від’ємні значення для контрасту
• Підвищення різкості: підсилення центрального пікселя

Візуалізація розмитого гриба (приблизно):

Контури стали м’якшими, деталі змазалися.

Практичне застосування в ШІ 🤖

Хоча наш гриб простий, ці самі операції використовуються для:

1. Аугментація даних: Обертання, відзеркалення зображень для навчання нейромереж
2. Попередня обробка: Нормалізація яскравості та контрасту
3. Виявлення об’єктів: Використання масок для виділення регіонів інтересу
4. Фільтрація: Видалення шуму, виявлення країв
5. Стиснення: Зменшення розміру даних без втрати важливої інформації

Експерименти для закріплення 🧪

1. Спробуйте намалювати свій простий об’єкт матрицею (будиночок, дерево, смайлик)
2. Застосуйте різні трансформації і подивіться на результат
3. Комбінуйте операції: що буде, якщо спочатку інвертувати кольори, а потім обернути?
4. Створіть анімацію: послідовно обертайте зображення на 90°, 180°, 270°

Підсумок 🎯

Матричні перетворення – це основа обробки зображень:

• ✅ Прості операції (додавання, множення) дають складні ефекти
• ✅ Композиція трансформацій створює нові можливості
• ✅ Маски та фільтри дозволяють працювати з частинами даних
• ✅ Все це масштабується – від 10×10 до мільйонів пікселів!

Ключові ідеї:

1. Зображення = матриця чисел
2. Трансформація = матрична операція
3. Композиція = послідовність операцій
4. Ефективність = паралельні обчислення