Лекція 2: Матриці – Організатори даних у світі ШІ 📊

Пам’ятаєте з минулої лекції наш вектор кота [4.5, 46, 0.9, 0.2]? А що, якщо у нас не один кіт, а ціла зграя? Або не просто фото, а відео з тисячами кадрів? Або не одна характеристика, а складна мережа зв’язків між нейронами?

Тут на сцену виходять матриці – потужний інструмент для організації та обробки величезних обсягів структурованих даних. Якщо вектори – це списки чисел, то матриці – це таблиці чисел, які можуть одночасно зберігати та обробляти багато векторів.

Що таке матриця? 🧩

Формальне визначення

Матриця – це прямокутна таблиця чисел (які називаються елементами), організованих у m рядків та n стовпців. Матрицю розміру m×n часто позначають великою літерою, наприклад A:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

Де $a_{ij}$ – елемент матриці в i-му рядку та j-му стовпці.

Зв’язок з векторами 🔗

Матриця – це фактично колекція векторів! Її можна розглядати як:

• Набір векторів-рядків: кожен рядок – це окремий вектор
• Набір векторів-стовпців: кожен стовпець – це окремий вектор

Наприклад, матриця 3×4 містить:

• 3 вектори-рядки розмірності 4
• 4 вектори-стовпці розмірності 3

Позначення та термінологія 📝

Основні позначення:

• Розмір матриці: m×n (m рядків, n стовпців)
• Елемент матриці: $a_{ij}$ або $A_{ij}$ – елемент в i-му рядку, j-му стовпці
• i-й рядок: $A_{i*}$ = $[a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}]$
• j-й стовпець: $A_{*j}$ = $[a_{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj}]^T$

Важливі терміни:

• Головна діагональ: елементи $a_{11}, a_{22}, ..., a_{kk}$ (де k = min(m,n))
• Слід матриці (trace): сума елементів головної діагоналі (для квадратних матриць)
• Порядок матриці: для квадратної матриці n×n, порядок = n

Приклад 1: База даних котів 🐱

Уявіть, що ви власник притулку для тварин і ведете базу даних своїх котів:

База даних котів:

$$\begin{pmatrix} 4.5 & 46 & 0.9 & 0.2 \\ 3.2 & 38 & 0.7 & 0.8 \\ 5.1 & 52 & 1.0 & 0.1 \\ 2.8 & 35 & 0.4 & 0.9 \end{pmatrix}$$

Тут кожен рядок – це один кіт, а кожен стовпець – це характеристика:

• Стовпець 1: Маса (кг)
• Стовпець 2: Довжина (см)
• Стовпець 3: Пухнастість (0-1)
• Стовпець 4: Небезпечність (0-1)

Розмір матриці: 4 × 4 (4 рядки, 4 стовпці) Елемент a₂₃ = 0.7 – це пухнастість другого кота

Приклад 2: Чорно-біле зображення 📷

Кожне цифрове зображення – це фактично матриця! Розглянемо крихітне зображення 5×5 пікселів, де 0 = чорний, 1 = білий:

Матриця зображення:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Це зображення хреста! Кожен елемент матриці представляє яскравість одного пікселя.

Основні операції з матрицями

Додавання та віднімання матриць ➕➖

Можна додавати/віднімати тільки матриці однакового розміру. Операція виконується поелементно.

Приклад: Зміна настрою котів після обіду 😸

До обіду:

$$\begin{pmatrix} 0.3 & 0.5 \\ 0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$$

Поліпшення після обіду:

$$\begin{pmatrix} 0.4 & 0.3 \\ 0.5 & 0.2 \end{pmatrix}$$

Настрій після обіду:

$$\begin{pmatrix} 0.3 & 0.5 \\ 0.2 & 0.4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.4 & 0.3 \\ 0.5 & 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.8 \\ 0.7 & 0.6 \end{pmatrix}$$

Всі коти стали щасливішими! 🎉

Множення матриці на число (скаляр) ✖️

Так само, як і з векторами – множимо кожен елемент на це число.

Приклад: Подвоєння порцій корму 🍽️

Якщо ветеринар рекомендує подвоїти порції:

$$2 \times \begin{pmatrix} 100 & 150 \\ 80 & 120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 & 300 \\ 160 & 240 \end{pmatrix}$$

Кожен кіт отримає вдвічі більше корму!

Матричне множення – найважливіша операція! 🔥

Це найскладніша, але найпотужніша операція в лінійній алгебрі. Вона лежить в основі всіх обчислень у нейронних мережах!

Коли можна множити матриці?

Матрицю A розміром m×k можна помножити на матрицю B розміром k×n тільки якщо:

• Кількість стовпців A = Кількість рядків B (тобто внутрішні розміри співпадають)
• Результат буде матриця C розміром m×n (зовнішні розміри)

$$\underbrace{A}_{m \times k} \times \underbrace{B}_{k \times n} = \underbrace{C}_{m \times n}$$

Як обчислюється множення?

Правило: Елемент $c_{ij}$ результату обчислюється як скалярний добуток i-го рядка матриці A на j-й стовпець матриці B:

$$c_{ij} = \sum_{l=1}^{k} a_{il} \cdot b_{lj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ik}b_{kj}$$

Чому це важливо для ШІ?

Матричне множення дозволяє:

• Трансформувати дані: перетворювати вектори ознак у нові простори
• Комбінувати інформацію: об’єднувати множину входів в один вихід
• Паралелізувати обчислення: обробляти багато даних одночасно на GPU

Приклад: Розрахунок калорій для котів 🥩

Матриця A – скільки їжі з’їдає кожен кіт (грами):

$$A = \begin{pmatrix} 150 & 50 \\ 200 & 30 \\ 100 & 80 \end{pmatrix}$$

(Рядки: коти, Стовпці: м’ясо, риба)

Матриця B – калорійність продуктів (кал/грам):

$$B = \begin{pmatrix} 3.5 \\ 2.8 \end{pmatrix}$$

(Рядки: м’ясо, риба)

Результат C – загальні калорії для кожного кота:

$$C = A \times B = \begin{pmatrix} 150 & 50 \\ 200 & 30 \\ 100 & 80 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3.5 \\ 2.8 \end{pmatrix}$$

Обчислення:

• Кіт 1: $(150 \times 3.5) + (50 \times 2.8) = 525 + 140 = 665$ калорій
• Кіт 2: $(200 \times 3.5) + (30 \times 2.8) = 700 + 84 = 784$ калорії
• Кіт 3: $(100 \times 3.5) + (80 \times 2.8) = 350 + 224 = 574$ калорії

$$C = \begin{pmatrix} 665 \\ 784 \\ 574 \end{pmatrix}$$

Транспонування матриці 🔄

Транспонування – це “перевертання” матриці: рядки стають стовпцями, а стовпці – рядками. Позначається як $A^T$.

Приклад: Перегляд даних з різних ракурсів 📈

Якщо у нас є дані про продажі корму за тиждень (понеділок, вівторок, середа):

Матриця продажів:

$$\begin{pmatrix} 150 & 200 & 100 \\ 180 & 220 & 120 \\ 160 & 250 & 90 \end{pmatrix}$$

(Рядки: дні тижня, Стовпці: магазини A, B, C)

Що ми бачимо з цієї матриці:

• Понеділок: Магазин B продав найбільше (200), магазин C – найменше (100)
• Вівторок: Знову лідирує магазин B (220)
• Середа: Магазин B встановив рекорд тижня (250)!

Після транспонування:

$$\begin{pmatrix} 150 & 180 & 160 \\ 200 & 220 & 250 \\ 100 & 120 & 90 \end{pmatrix}$$

(Рядки: магазини A, B, C, Стовпці: дні тижня)

Тепер аналіз простіший:

• Магазин A: Продажі стабільні (150→180→160), всього = 490
• Магазин B: Продажі зростають! (200→220→250), всього = 670 🏆
• Магазин C: Найслабші продажі (100→120→90), всього = 310

Висновок: Магазин B – явний лідер з продажів, варто вивчити їхні методи!

Властивості матричних операцій 🔧

Матричні операції мають важливі властивості, які використовуються в ШІ:

Властивості множення:

• НЕ комутативне: $A \times B ≠ B \times A$ (в загальному випадку)
• Асоціативне: $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$
• Дистрибутивне: $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

Властивості транспонування:

• $(A^T)^T = A$ (подвійне транспонування повертає оригінал)
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(A \times B)^T = B^T \times A^T$ (зверніть увагу на зміну порядку!)
• $(cA)^T = cA^T$ (де c – скаляр)

Спеціальні типи матриць 🎯

Квадратна матриця

Матриця, де кількість рядків = кількість стовпців (n×n). Тільки квадратні матриці можуть мати:

• Визначник
• Обернену матрицю
• Власні значення та власні вектори

Діагональна матриця

Усі елементи поза головною діагоналлю дорівнюють нулю:

$$D = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Чому важлива: Множення на діагональну матрицю – це масштабування кожної координати окремо. В ШІ використовується для нормалізації даних.

Одинична матриця (I)

Діагональна матриця з одиницями на діагоналі – “нейтральний елемент” для множення:

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Для будь-якої матриці A: $A \times I = I \times A = A$

Чому важлива: Грає роль “1” для матриць. Використовується при ініціалізації нейронних мереж.

Симетрична матриця

Матриця, що дорівнює своїй транспонованій ($A = A^T$):

$$S = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$

Чому важлива: Кореляційні та коваріаційні матриці завжди симетричні. Мають гарантовано дійсні власні значення.

Ортогональна матриця

Матриця, для якої $Q^T \times Q = Q \times Q^T = I$ (транспонована = обернена):

Властивості:

• Зберігає довжини векторів
• Зберігає кути між векторами
• Представляє поворот або відзеркалення

Чому важлива: Використовується в PCA (Principal Component Analysis) та для поворотів зображень.

Визначник (детермінант) – “магічне число” матриці 🔮

Визначник – це спеціальне число, яке можна обчислити для квадратної матриці. Воно говорить нам про важливі властивості матриці.

Геометричний сенс визначника 📐

Визначник показує, як матриця змінює площі/об’єми:

• |det| > 1: матриця збільшує площі
• |det| < 1: матриця зменшує площі
• det = 0: матриця “сплющує” простір (втрата розмірності)
• det < 0: матриця змінює орієнтацію (дзеркальне відображення)

Для матриці 2×2:

$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Приклад: Площа паралелограма 📐

Два вектори утворюють паралелограм. Його площа = |визначник|:

Матриця векторів:

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$\det = (3 \times 4) - (1 \times 2) = 12 - 2 = 10$$

Площа паралелограма = 10 квадратних одиниць!

Для матриці 3×3:

$$\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

Приклад: Система рівнянь має розв’язок? 🤔

Уявіть, що вам потрібно знайти ціни на три види корму для котів (x, y, z), знаючи вартість різних комбінацій:

Система рівнянь:

• 2 пачки корму A + 1 пачка корму B = 100 грн
• 1 пачка корму A зі знижкою (-1×A) + 3 пачки корму B + 4 пачки корму C = 250 грн
• 5 пачок корму B - 2 пачки корму C = 150 грн

Математично це записується як:

$$\begin{cases} 2x + 1y + 0z = 100 \\ -1x + 3y + 4z = 250 \\ 0x + 5y - 2z = 150 \end{cases}$$

У матричній формі: Ax = b

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}}_{A} \times \underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}}_{\vec{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 100 \\ 250 \\ 150 \end{pmatrix}}_{\vec{b}}$$

Перевірка через визначник:

$$\det(A) = (2)(3)(-2) + (1)(4)(0) + (0)(-1)(5) - (0)(3)(0) - (1)(-1)(-2) - (2)(4)(5)$$ $$= -12 + 0 + 0 - 0 - 2 - 40 = -54$$

Оскільки $\det(A) = -54$ ≠ $0$:

• ✅ Система має єдиний розв’язок
• ✅ Можна знайти точні ціни кожного корму
• ✅ Матриця A має обернену матрицю

Якби визначник = 0:

• ❌ Система могла б не мати розв’язку (суперечливі умови)
• ❌ Або мати безліч розв’язків (недостатньо інформації)

Практичні поради та типові помилки 💡

Поради для роботи з матрицями:

1. Завжди перевіряйте розміри: Перед множенням матриць переконайтеся, що внутрішні розміри співпадають
2. Використовуйте бібліотеки: Не винаходьте велосипед, скористайтесь перевіреними інструментами
3. Думайте про ефективність: Порядок множення матриць впливає на швидкість: $(A \times B) \times C$ може бути набагато швидшим за $A \times (B \times C)$

Типові помилки новачків:

• ❌ Плутати рядки та стовпці при індексації
• ❌ Забувати про некомутативність множення
• ❌ Ігнорувати числову стабільність (дуже малі/великі числа)
• ❌ Не використовувати векторизовані операції (цикли замість матричних операцій)

---

Підсумок 🎯

Матриці – це фундамент сучасного ШІ:

• ✅ Універсальна структура даних для організації інформації
• ✅ Потужні математичні операції для трансформації даних
• ✅ Ефективна реалізація на сучасному обладнанні
• ✅ Інтуїтивна геометрична інтерпретація для розуміння

Ключові концепції для запам’ятовування:

1. Матриця = таблиця чисел = колекція векторів
2. Множення матриць = композиція трансформацій
3. Визначник = міра зміни площ/об’ємів
4. Спеціальні матриці мають спеціальні властивості